Stavo registrando la puntata 48 di Piazza Umarell e il mio infido collega Francesco mi ha chiesto a bruciapelo: perché è impossibile dividere per zero? Riprendendo una domanda da Yahoo Answer.

Ognuno di noi credo conosca il motivo e le ragioni di un risultato indefinito, però non essere riuscito a spiegarlo a voce mi ha fatto titubare sulla solidità della mia conoscenza in merito. Ho dunque raccolto i neuroni per fare un breve ripasso.

Un problema antico, il bug della matematica

Lo Zero, si sa, non ha seguito la diffusione delle altre cifre. Bene o male egizi, babilonesi, greci e romani contavano. Anche se con sistemi diversi sono riusciti ad estrarre dai loro numeri concetti importantissimi.

Tuttavia, se l’idea del “nulla” apparteneva ad ognuna di queste civiltà, non tutte riuscirono ad associarle un significato numerico. Infatti in molti sistemi numerici antichi vi era una parola, un simbolo o un carattere vuoto a descrivere questo stato.

Il primo a ragionare sul ruolo numerico dello zero, pare sia stato il matematico indiano Brahmagupta, nel suo Brahmasphutasiddhanta, compiendo però escursioni non sempre corrette, ad esempio:

Un numero positivo o negativo diviso per zero è una frazione avente lo zero al denominatore. Zero diviso per un numero negativo o positivo è equivalente sia allo zero che ad una frazione avente lo zero al numeratore e una quantità finita al denominatore. Zero diviso per zero è zero.

La questione non funziona così, ma è comprensibile come il matematico vi sia intuitivamente caduto sopra.  Non fu immediata una correzione in merito. Ci provò Mahavira con:

Un numero non viene modificato quando diviso per zero.

Anche qui, comprendere la soluzione intuitiva non è complicato: Ho una torta e devo dividerla per 0 persone, che succede alla torta? Uno potrebbe dire, sbagliando però: niente. Non succede niente alla torta perché non la distribuisci, rimane invariata.

Intervenne un’altro indiano, Bhaskara II, che propose una soluzione abbastanza verosimle: \(\frac {n}{0}= \infty\)

Anche questo è un errore che può facilmente originare nell’intuizione: Più è piccolo il denominatore, più sarà grande il risultato. Quindi se il denominatore è il più piccolo, cioè zero, il risultato diviene il più grande, cioè infinito.

Prima di passare alla spiegazione matematica delle divisioni per zero, vi lascio un paio di video molto interessanti sull’origine di questo numero e su come ha cambiato il nostro approccio alla realtà:

La spiegazione algebrica

Concordiamo tutti sul fatto che scrivendo  \(\frac{a}{b} = x\) sto dicendo che \(bx = a\) ? Ho semplicemente moltiplicato per \(b\) in entrambi i lati dell’equazione.

In soldoni stiamo riordinando una divisione in una moltiplicazione, \(\frac{48}{6}  = 8\) è come dire \(48 = 8 \times 6\). Ho semplicemente moltiplicato per \(6\) su entrambi i lati dell’equazione.

Ma se uso lo stesso sistema con una frazione che ha zero al denominatore non funziona più, vediamolo:

\(\frac{a}{0}=x\), dunque moltiplicando per zero su entrambi i lati ottengo: \(\frac{a}{0} \times 0 = x \times 0\)

quindi \(a = 0\). Ciò significa che ogni soluzione è valida se \(a\) è uguale a \(0\), mentre non esiste nessuna soluzione se \(a\) è diverso da \(0\). Dunque diremo che l’equazione ha infinite soluzioni, per cui non è possibile identificarne una. Il risultato è indefinito.

Un approccio pragmatico

Si potrebbe anche giocare in questo modo: lasciamo perdere lo zero e studiamo l’intorno. Cioè cerchiamo di fare i conti della serva con un approccio progressivo, dividendo \(1\) per un numero via via più vicino allo zero.

Sappiamo che \(\frac{1}{0.1} = 10\)

Scegliamo un numero più piccolo: \(\frac{1}{0.01} = 100\)

Esageriamo e portiamoci molto di più vicino allo zero \(\frac{1}{0.0000000000001} = 10,000,000,000,000\) (se ho contato bene le cifre 🙂 )

È evidente dunque che più ci avviciniamo allo zero al denominatore, più avremo un risultato grande, tendente ad infinito. Potremmo quasi azzardare una definizione di questo tipo, che è quella già proposta da Bhaskara II: \(\frac{x}{0} = \infty\).

Però la faccenda barcolla perché se mi avvicino allo zero dall’altro lato, ottengo \(\frac{x}{0} = -\infty\), vediamo come:

\(\frac{1}{-0.1} = -10\), continuando…

Otteniamo \(\frac{1}{-0.01} = -100\)

E infine \(\frac{1}{-0.0000000000001} = -10,000,000,000,000\) Qui si tende a \(-\infty\) …

Allora se le soluzioni sono \(\infty\) e \(-\infty\) non abbiamo risolto granché, rimane indefinito!

Al limite proviamo coi limiti

Qui c’è da divertirsi! Abbiamo visto che l’ipotesi appena discussa sembra comunque interessante e può invitarci ad avvicinare il problema armati di limiti.

Proviamo infatti ad immaginare il limite di \(\frac {a}{b}\) con \(b\) che tende a \(0\).

Se consideriamo \(b\) tendende a \(0\) da destra, dunque positivo, per ogni \(a\) a sua volta positiva scriviamo che:

\(\lim_{b \to 0^+} \frac{a}{b} = +\infty\)

qualora \(a\) fosse negativa, chiaramente abbiamo:

\(\lim_{b \to 0^+} \frac{a}{b} = -\infty\)

Se consideriamo \(b\) tendende a \(0\) da sinistra, dunque negativo, per ogni \(a\) positiva scriviamo che:

\(\lim_{b \to 0^-} \frac{a}{b} = -\infty\)

qualora \(a\) fosse negativa, chiaramente abbiamo:

\(\lim_{b \to 0^-} \frac{a}{b} = +\infty\)

Però qualcosa non quadra, infatti:

\(+\infty =  \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = \infty\) Ed ecco che \(+\infty = -\infty\) è inaccettabile

Concludendo

Non potendo definire il valore di un numero diviso per zero, bisogna rassegnarsi a considerare il risultato indefinito. So che esistono ambiti della matematica dove si arriva a conclusioni differenti, ma non li ho nemmeno sfiorati ed evito di parlarne.

Ci sarebbe anche la questione di non minore importanza: quanto fa \(\frac{0}{0}\) ? Magari ne parliamo alla prossima occasione.

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